定义

定义随机变量 $X$ 的矩母函数

$$\begin{aligned} &M(t)=E(e^{tX})\\ =&\left\{ \begin{array}{ll} \sum e^{tx}P(X=x) & X\text{离散}\\ \int e^{tx}f(x)dx & X\text{连续} \end{array} \right. \end{aligned}$$

性质

矩母函数可以唯一地确定分布

矩母函数的 $n$ 次导数 $M^{(n)}(t)=E(X^n e^{tX})$，故 $M^{(n)}(0)=E(X^n)$

$X_1$、$X_2$独立，则有 $M_ {X_1+X_2}(t)=E(e^{t(X_1+X_2)})=E(e^{tX_1})E(e^{tX_2})=M_ {X_1}(t)M_ {X_2}(t)$

常见分布的矩母函数

二项分布的矩母函数 $M(t)=(p e^t+1-p)^n$

泊松分布的矩母函数 $M(t)=e^{\lambda(e^t-1)}$

几何分布的矩母函数 $M(t)=\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}$

负二项分布的矩母函数 $M(t)=\left(\frac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^r$

均匀分布的矩母函数 $M(t)=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$

指数分布的矩母函数 $M(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}$

正态分布的矩母函数 $M(t)=e^{\mu t+\sigma^2t^2/2}$

联合矩母函数

$X_1,\cdots,X_n$ 的联合矩母函数 $M(t_1,\cdots,t_n)=E(e^{t_1X_1+\cdots+t_nX_n})$

则 $X_i$ 的矩母函数 $M_ {X_i}(t)=E(e^{t X_i})=M(0,\cdots,0,t,0,\cdots,0)$

$X_1,\cdots,X_n$ 互相独立的充要条件是 $M(t_1,\cdots,t_n)=M_ {X_1}(t_1)\cdots M_ {X_n}(t_n)$