二元关系

等价关系：满足自反性、对称性、传递性的二元关系。集合按等价关系可以分为一族互不相交的等价类。

偏序关系：满足自反性、反对称性、传递性的二元关系。

拟序关系：满足反自反性、反对称性、传递性的二元关系。

全序关系：集合中所有元素都有偏序关系时，称其为全序关系，称集合为全序集。

良序集：任意非空子集都有最小元的集合。

群

称非空集合 $G$ 为群，指 $G$ 上定义有一种运算，即存在从 $G \times G$ 到 $G$ 的映射 $(x,y)\rightarrow x \oplus y$ 满足

1. 结合律 $(x \oplus y)\oplus z = x \oplus (y \oplus z)$
2. 存在单位元 $e$，使得 $\forall x\in G$，$x\oplus e = e\oplus x = x$
3. $G$ 内任意元有逆元，即 $\forall x\in G$，$\exists y \in G$，使得 $x\oplus y=y\oplus x=e$

如果还满足 $x\oplus y = y\oplus x$，则 $G$ 称为交换群，或 Abel 群。

如果只满足条件 1，称其为半群。如果只满足条件 1 和 2，称其为含幺半群。

环

称集合 $A$ 为环，若 $A$ 上定义了两种运算，满足

1. 对于加法运算 $A$ 是交换群
2. 乘法满足结合律
3. 乘法与加法满足分配律，即 $\forall x,y,z\in A$，有 $x\otimes(y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus(x\otimes z)$，$(x\oplus y)\otimes z=(x\otimes z)\oplus(y\otimes z)$

如果还满足乘法具有交换律，则 $A$ 称为交换环。

如果还满足乘法有单位元，则 $A$ 称为单位元环。

域

非零交换环 $A$，有 $A-\{0\}$ 对于乘法成群，则 $A$ 称为域。

线性空间

称非空集合 $V$ 是数域 $F$ 上的一个线性空间，如果：

• $<V:+>$ 是一个交换群；
• 数乘运算满足如下性质：$\forall \alpha , \beta\in V$, $\forall \lambda, \mu \in F$，有：
  • $1\alpha=\alpha$
  • $0\alpha=0$
  • $\lambda(\mu\alpha)=(\lambda\mu)\alpha$
  • $(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$
  • $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$

线性相关：设 $V(F)$ 是一个线性空间，$\alpha_1,\cdots,\alpha_m\in V$，若存在不全为零的 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m\in F$，使得 $\lambda_1\alpha_1+\cdots+\lambda_m\alpha_m=0$，则称 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性相关，否则称其线性无关。

基和维数：若线性空间 $V(F)$ 存在 $n$ 个线性无关向量，且这一组向量可以线性扩张为 $V$，则称这一组向量为 $V$ 的一组基，$V$ 的维数为 $n$，记为 $dimV=n$。

维数公式：$dim W_1+dim W_2 = dim(W_1+W_2)+dim(W_1\cap W_2)$。当 $W_1\cap W_2=\{0\}$ 时，$W_1+W_2$ 称为直和。

内积空间

定义内积运算

• $(\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)}$
• $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
• $(\lambda\alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)$
• $(\alpha,\alpha)\ge0$，等号成立当且仅当 $\alpha=0$

的空间。

有限维实内积空间叫做欧几里得空间，复内积空间叫做酉空间。欧式空间恒有单位正交基。

定义长度 $|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$，夹角 $<\alpha,\beta>=\arccos\frac{(\alpha,\beta)}{|\alpha||\beta|}$。

柯西-施瓦茨不等式：$(\alpha,\beta)\le |\alpha| |\beta|$

证明： 当 $\beta=0$ 时，结论成立。当 $\beta\neq 0$ 时，$(\alpha+\lambda\beta,\alpha+\lambda\beta)=(\alpha,\alpha)+2\lambda(\alpha,\beta)+\lambda^2(\beta,\beta)\ge 0$。故而该二次函数的判别式小于等于 0，结论成立。

三角不等式：$|\alpha+\beta|\le|\alpha|+|\beta|$

证明： $|\alpha+\beta|^2=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)=(\alpha,\alpha)+2(\alpha,\beta)+(\beta,\beta)\le|\alpha|^2+2|\alpha||\beta|+|\beta|^2$

线性映射

从线性空间 $V_1(F)$ 到 $V_2(F)$ 的映射 $\sigma$ 是线性的，若 $\sigma$ 满足 $\sigma(\lambda\alpha+\mu\beta)=\lambda\sigma(\alpha)+\mu\sigma(\beta)$ 成立。

线性映射的秩：$\sigma(V_1)$ 的维数称为 $\sigma$ 的秩，记作 $r(\sigma)$。

$r(\sigma)+dim(Ker\sigma)=dim(V_1)$

从线性空间 $V_1(F)$ 到 $V_2(F)$ 的所有线性映射组成的集合 $L(V_1,V_2)$ 是线性空间，维数 $mn$。

若存在线性双射，称两线性空间同构。同构的充要条件是两空间维数相等。

$V_1$、$V_2$、$V_3$ 是 $m$、$n$、$s$ 维线性空间，$\sigma\in L(V_1,V_2)$，$\tau\in L(V_2,V_3)$，则 $r(\sigma)+r(\tau)-n\le r(\tau\sigma)\le \min(r(\sigma),r(\tau))$

$r(\tau\sigma)\le r(\sigma)$ 且 $r(\tau\sigma)\le r(\tau)$ $dimKer(\tau\sigma)\le dimKer(\tau)+dimKer(\sigma)$，故而 $m-r(\tau\sigma)\le n-r(\tau)+m-r(\sigma)$

$r(\sigma+\tau)\le r(\sigma)+r(\tau)$

$(\sigma+\tau)(V_1)\subset \sigma(V_1)+\tau(V_1)$

$Ker \sigma=Ker \sigma^2 \Leftrightarrow Ker \sigma \cap Im \sigma={0}$

充分性：显然 $Ker \sigma\subset Ker \sigma^2$。若 $\alpha\in Ker \sigma^2$，则 $\beta=\sigma(\alpha)\in Ker \sigma \cap Im \sigma ={0}$，则 $\alpha\in Ker \sigma$。因此 $Ker \sigma=Ker \sigma^2$。 必要性：若 $\beta\in Ker \sigma \cap Im \sigma$，则存在 $\alpha$，$\beta=\sigma(\alpha)$，故而 $\sigma^2(\alpha)=0$，故 $\alpha\in Ker \sigma^2 = Ker \sigma$。所以 $\beta=0$。

$Im \sigma=Im \sigma^2 \Leftrightarrow V=Ker \sigma + Im \sigma$

充分性：显然 $Im \sigma^2 \subset Im \sigma$。若 $\alpha\in Im \sigma$，$\alpha=\sigma(\beta)$，则 $\beta$ 可分解为 $\beta_ {Ker}+\beta_ {Im}$。$\alpha=\sigma(\beta_ {Ker}+\beta_ {Im})=\sigma(\beta_ {Im})$。故而 $\alpha\in Im \sigma^2$。$Im \sigma=Im \sigma^2$。 必要性：对任意 $\beta$，$\alpha=\sigma(\beta)$，存在 $\alpha=\sigma^2(\tau)$。所以 $\beta-\sigma(\tau)\in Ker \sigma$。$\beta\in Ker \sigma + Im \sigma$。

若 $\sigma^{k-1}(\xi)\neq 0$，$\sigma^{k}(\xi)=0$，则 ${\xi,\sigma(\xi),\sigma^{k-1}(\xi)}$ 线性无关

根据线性无关的定义证明