$(\sigma(\epsilon_1),\sigma(\epsilon_2),\cdots,\sigma(\epsilon_n))=(e_1,e_2,\cdots,e_m)\left[ \begin{array}{c c c} a_ {11} & \cdots & a_ {1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_ {m1} & \cdots & a_ {mn} \end{array} \right]$
若 $\alpha=(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n)X$，$\sigma(\alpha)=(e_1,\cdots,e_m)Y$，则 $Y=AX$。
矩阵的列（行）向量的秩称为矩阵的列（行）秩。
矩阵对应的线性映射的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩。
矩阵对应的线性映射的极大无关组即列向量的极大无关组。 设矩阵的行秩为 $r_r$，不妨设为前 $r_r$ 行。即 $(a_ {i,1},\cdots,a_ {i,n})=\sum_ {k=1}^{r_r}(c_ {i,k}a_ {k,1},\cdots,c_ {i,k}a_ {k,n})$，即 $a_ {i,j}=\sum_ {k=1}^{r_r}c_ {i,k}a_ {k,j}$。故而 $(a_ {1,j},\cdots,a_ {m,j})^T=\sum_ {k=1}^{r_r}(c_ {1,k},\cdots,c_ {m,k})^T a_ {k,j}$。所以 $A$ 的列秩不大于行秩。同理行秩也不大于列秩。故而行秩等于列秩。
初等变换不改变矩阵的秩。
$A$ 是 $m\times n$ 维实矩阵，则 $r(A^T A)=r(A)$
显然 $r(A^T A)\le r(A)$。又因为任意 $x$ 使得 $A^T A x=0$，则 $x^T A^T A x=0$，故而 $Ax=0$。即 $A^TA$ 的核是 $A$ 的核的子集。于是又有 $r(A^T A)\ge r(A)$。
$tr(AB)=tr(BA)$
与任意 $n$ 阶矩阵可交换的矩阵一定是 $n$ 阶数量矩阵
可逆矩阵可表示为初等矩阵的乘积。
若 $AB=E$，则必有 $BA=E$。
可由矩阵所对应的线性映射证明。
$A=\left[ \begin{array}{cc} B & 0\\ C & D \end{array} \right]$ $B$、$D$ 分别为 $k$ 阶、$m$ 阶矩阵。则 $A$ 可逆等价于 $B$、$D$ 都可逆，且 $A^{-1}=\left[ \begin{array}{cc} B^{-1} & 0\\ -D^{-1}CB^{-1} & D^{-1} \end{array} \right]$。
广义逆矩阵：
行列式只对方阵有意义。定义满足如下规则的映射为行列式：
元素 $a_ {ij}$ 的余子式 $M_ {ij}$ 为矩阵去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列得到的 $(n-1)$ 阶行列式。代数余子式 $A_ {ij}=(-1)^{i+j}M_ {ij}$。
$|A|=\sum_ {k=1}^n a_ {kj} A_ {kj}=\sum_ {k=1}^n a_ {ik} A_ {ik}$。
$A$ 的行列式秩定义为 $A$ 的非零子式最高阶。
$A$ 的行列式秩等于 $A$ 的秩。
$A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $|A|\neq 0$。
定义伴随矩阵 $A^* =\left[\begin{array}{ccc} A_ {11} & \cdots & A_ {n1}\\ \vdots & & \vdots\\ A_ {1n} & \cdots & A_ {nn} \end{array}\right]$，$A^{-1}=\frac{A^* }{|A|}$
$(AB)^* =B^* A^* $，$(A^{-1})^* =(A^* )^{-1}$，$(A^{T})^* =(A^* )^{T}$
$r(A^* )= \left\{ \begin{array}{ll} n & r(A)=n \\ 1 & r(A)=n-1 \\ 0 & r(A)<n-1 \end{array} \right.$
Cramer 法则：$Ax=b$，$|A|\neq 0$，则方程组有唯一解 $x_j=\frac{D_j}{D}$。
$\left | \begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array} \right|=|A||B|$（对 $A$ 的阶数用归纳法证明）
$|AB|=|A||B|$（用初等变换矩阵证明）
$|A^T|=|A|$（用初等变换矩阵证明）
对角绝对优势矩阵 $|a_ {ii}|>\sum_ {j\neq i}|a_ {ij}|$，有 $|A|\neq0$
范德蒙行列式 $\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1^1 & x_2^1 & \cdots & x_n^1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array}\right]=\prod_ {1\le i<j\le n} (x_j-x_i)$ （用归纳法证明）
$A$ 是 $n$ 阶反对称矩阵，$n$ 为奇数，则有 $A$ 不可逆。（$|A|=0$）
$AA^T=I$，$|A|<0$，则有$|A+I|=|A||A+I|=0$
$\left| \begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array} \right|=|A+B||A-B|$
$\left| \begin{array}{cc} I_m & B \\ A & I_n \end{array} \right|=|I_n-AB|=|I_m-BA|$
$r(A)=r$，则 $Ax=0$ 解空间是 $(n-r)$ 维。
$Ax=b$ 的一般解：$x=x_0+\overline{x}$，$\overline{x}$ 为 $Ax=0$ 的一般解。
$Ax=b$ 中 $b$ 的扰动 $\delta b$ 引起的 $x$ 的扰动 $\delta x$，有 $\delta x=A^{-1}\delta b$。 由于 $|\delta x|\le |A^{-1}||\delta b|$，$|b|\le |A||x|$，故有 $\frac{|\delta x|}{x}\le |A||A^{-1}|\frac{|\delta b|}{b}$。定义条件数 $cond(A)=|A||A^{-1}|$，可作为误差的上界。
正交变换：满足 $(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$ 的线性变换。该条件等价于 $|\sigma(\alpha)|=|\alpha|$。
正交矩阵：正交变换关于单位正交基所对应的矩阵。等价于列向量是一组单位正交基的矩阵；等价于满足 $A^TA=I$ 的矩阵。
$n$ 阶矩阵各阶左上角子块矩阵可逆，则存在主对角元全为 1 的下三角阵 $L$ 和上三角阵 $U$ 使 $A=LU $。
可逆实矩阵可分解为正交矩阵 Q 和主对角元为正数的上三角矩阵 R 的乘积。构造方法即为 Schmidt 正交化。
由 QR 分解可证哈达马 Hadamard 不等式：$|\det A|\le\prod_ {i=1}^{n}|\alpha_i|$，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵。