生成连续分布随机变量

反变换方法

设 $U$ 为 $[0,1]$ 上的均匀分布随机变量，$F$ 为所希望生成的随机变量的累积分布函数。定义 $Y=F^{-1}(U)$，则 $Y$ 的累积分布函数是 $F$。

证明： $F_Y(t)=P(Y\le t)=P(U\le F(t))=F(t)$

取舍法

设 $Y$ 为概率密度函数为 $g$ 的随机变量，$U$ 为 $[0,1]$ 上的均匀分布随机变量。若 $U\le\frac{f(Y)}{cg(Y)}$，则 $X=Y$，否则重新生成。则 $X$ 的概率密度函数为 $f$。

证明： $\begin{aligned} &P(X\le x)\\ =&P(Y\le x|U\le\frac{f(Y)}{cg(Y)})\\ =&\frac{P(Y\le x,U\le\frac{f(Y)}{cg(Y)})}{P(U\le\frac{f(Y)}{cg(Y)})}\\ =&\frac{\frac{1}{c}F(x)}{P(U\le\frac{f(Y)}{cg(Y)})}\\ =&F(x) \end{aligned}$

生成离散分布随机变量

伯努利实验

通过伯努利实验，可以生成很多常见的离散分布随机变量，如二项分布、负二项分布、几何分布

反变换方法

设 $U$ 为 $[0,1]$ 上的均匀分布随机变量，令

$$\begin{aligned} X= \left\{ \begin{array}{ll} x_1 & \text{若 }U\le P_1\\ \vdots\\ x_k & \text{若 }\sum_{i=1}^{k-1}P_i\le U\le \sum_{i=1}^{k}P_i\\ \vdots \end{array} \right. \end{aligned}$$

则 $X$ 具有分布函数 $P(X=x_k)=P_k$