特征值分解

对于矩阵 $A$，若 $Ax=\lambda x$，则 $\lambda$ 称为矩阵的特征值，$x$ 为对应的特征向量。 特征值是特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda I-A|$ 的根。

$\sum_ {i=1}^n\lambda_i =\sum_ {i=1}^n a_ {ii}$，$\prod_ {i=1}^n\lambda_i =|A|$。

特征值是线性变换的不变量

不同特征值的特征子空间的基向量线性无关

$A$ 可对角化：等价于 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；等价于每个特征值的重数=子空间维数

任意 $n$ 阶矩阵 $A$ 在复数域对应唯一的若当矩阵（不考虑若当块的排列次序）

相似与相合

若存在可逆矩阵 $C\in M_n(F)$，使得 $C^{-1}AC=B$，则称 $A$ 相似于 $B$。

相似矩阵特征多项式相等

实对称矩阵的特征值都是实数，且不同特征值的特征向量正交

对于实对称矩阵 $A$，存在 $n$ 阶正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$

存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^TAC=B$，则称 $A$ 相合于 $B$

实对称矩阵的相似标准型也是相合标准型

正定矩阵 $\Leftrightarrow$ 特征值都>0 $\Leftrightarrow$ 正惯性指数$=n$ $\Leftrightarrow$ $A=P^TP$ $\Leftrightarrow$ 顺序主子式都>0

正定矩阵的对角元都大于 0，行列式大于 0。

若 $A\sim B$，则 $|A|=|B|$，$tr(A)=tr(B)$

$\alpha^T\beta=k$，求 $A=\alpha\beta^T$ 特征值。 解：$A^2=kA$，故 $\lambda=0$（$(n-1)$ 重）或 $k$（1 重）

$A$ 是实对称正定矩阵，则 $X_1^TAX_2\le \frac{1}{2}(X_1^TAX_1+X_2^TAX_2)$ 证明：$(X_1-X_2)^TA(X_1-X_2)\ge 0$

$A,B\in M_n(F)$，$A$ 有 $n$ 个不同特征值，证明：$AB=BA\Leftrightarrow A$ 的特征向量是 $B$ 的特征向量 证明：必要性：$Ax_i=\lambda_i x_i$，$ABx_i=\lambda_iBx_i$，故 $Bx_i=\mu_ix_i$。 充分性：$P^{-1}AP=\Lambda_1$，$P^{-1}BP=\Lambda_2$，对角阵可交换

$A\in M_ {m\times n}(C)$，$B\in M_ {n\times m}(C)$，则 $\left[ \begin{array}{cc} AB & 0 \
B & 0 \end{array} \right]\sim\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \
B & BA \end{array} \right]$，故 $\lambda^n|\lambda E_m-AB|=\lambda^m|\lambda E_n-BA|$。特别地，若 $m=n$，$|\lambda E_m-AB|=|\lambda E_n-BA|$

$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，则：$|A|\le a_ {nn}|A_ {n-1}|$，$|A|=|A_ {n-1}| (a_ {nn}-\alpha^TA_ {n-1}^{-1}\alpha)$，$|A|\le a_ {11} a_ {22} \cdots a_ {nn}$