某人一次写了 $n$ 封信，并分别在 $n$ 个信封上写下这 $n$ 封信的地址。如果他随机地将这 $n$ 封信装入写好地址的 $n$ 个信封，问至少有一封信和信封是匹配的概率是多少？
某一封信匹配的概率是 $\frac{1}{n}$，某 $k$ 封信匹配的概率是 $\frac{1}{n(n-1)\cdots(n-k+1)}$。根据容斥原理，至少有一封信匹配的概率是 $\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}\binom{n}{k}\frac{1}{n(n-1)\cdots(n-k+1)}$。
第 $i$ 封信匹配的概率是 $\frac{1}{n}$，所以匹配信封数目的期望为 $n\frac{1}{n}=1$。
初始时，甲有 $i$ 元，乙有 $(a-i)$ 元，甲单场获胜的概率是 $p$，求甲破产概率。
记 $A_i$ 为甲有 $i$ 元时最终破产。 $P(A_i)=pP(A_ {i+1})+(1-p)P(A_ {i-1})$，$i>0$。边界条件 $P(A_0)=1$、$P(A_a)=0$。由递推公式得通项公式： 若 $p=\frac{1}{2}$，$P(A_i)=\frac{a-i}{a}$；若 $p\neq\frac{1}{2}$，$P(A_i)=1-\frac{1}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^a}+\frac{1}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^a}\left(\frac{1-p}{p}\right)^i$。
若乙是赌场，即 $a\gg i$，且 $p\le \frac{1}{2}$时，甲破产概率为 1。
参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
可以很直观地理解这件事请。参赛者一开始有三分之二的概率选择了山羊，三分之一的概率选择了汽车。如果一开始选了山羊然后换门，一定可以选中汽车，如果不换一定不是汽车；如果一开始选择了汽车然后换门一定不是汽车，如果不换就是汽车。所以采用换门策略赢得汽车的概率是 2/3，采用不换策略赢得汽车的概率是 1/3。
设相对于第一个点，另两个点的角度为 $\alpha$、$\beta$。由于独立，它们应为 $[0,2\pi]$ 上的均匀分布。圆上三点构成锐角三角形，则任意两点的圆心角小于 $\pi$。作图可得锐角的概率是 $\frac{1}{4}$。
设两个截断点相对于总长分别为 $\alpha$、$\beta$。由于独立，它们应为 $[0,1]$ 上的均匀分布。三截长度分别为 $\min\{\alpha,\beta\}$、$|\alpha-\beta|$、$1-\max\{\alpha,\beta\}$。三截构成三角形，则任意两截之和大于第三截。作图可得构成三角形的概率是 $\frac{1}{4}$。
一旦掷出了反，反正正一定比正正正先出现。所以只有当前三次投掷都是正的时候，才是正正正先出现。所以概率为 1/8。
已知 randM() 函数，返回 $1$ 到 $M$ 的随机自然数。怎样利用这个 randM() 构造 randN() 以产生 $1$ 到 $N$ 的随机自然数？
生成 $k=\lceil\log_M N\rceil$ 个随机数，可等概率地表示 $1$ 到 $M^k$ 的自然数。若该数大于 $N$ 则重新实验，若小于等于 $N$ 则返回该数。
已知一随机发生器，产生的数字的分布不清楚，现在要求构造一个发生器，使得它产生 0 和 1 的概率均为 1/2。
生成两个随机数 $a$ 和 $b$。若 $a>b$ 生成 $0$；若 $a<b$ 生成 $1$；若 $a=b$ 则重新生成。
取 $n$ 个数和小于 1 的概率是 $\frac{1}{n!}$，故刚好取 $n$ 个数使得和超过 1 的概率是 $\frac{n-1}{n!}$，因此期望为 $e$。
醉汉第一个上飞机随机坐下 其他人随后尽量找自己对应的位子 否则随机坐 问最后一个人坐到自己位子的概率