定义

$e=\lim_{x\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{x})^x$。

重要的等式

$e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$

$$\begin{aligned} e&=\lim_ {x\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{x})^x\\ &=\lim_ {n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n\\ &=\lim_ {n\rightarrow+\infty}\sum_ {k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\ &=\lim_ {n\rightarrow+\infty}\sum_ {k=0}^n\frac{1}{k!}\\ &=\sum_ {k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!} \end{aligned}$$

$(e^x)’=e^x$

从 $e^x$ 的泰勒展开可得

欧拉公式：$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

从 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 的泰勒展开可得

Stirling 公式：$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

因此有 $e=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}$ Stirling 公式证明： $\ln(n!)=\ln 1+\cdots+\ln n\approx\int_{1}^{n}\ln x dx=n\ln n-n+1$ 计算此近似的误差，可得 Stirling 公式

附保留小数点后 1000 位的 $e$：

$$\begin{aligned}2. &71828182845904523536028747135266249775724709369995\\ &95749669676277240766303535475945713821785251664274\\ &27466391932003059921817413596629043572900334295260\\ &59563073813232862794349076323382988075319525101901\\ &15738341879307021540891499348841675092447614606680\\ &82264800168477411853742345442437107539077744992069\\ &55170276183860626133138458300075204493382656029760\\ &67371132007093287091274437470472306969772093101416\\ &92836819025515108657463772111252389784425056953696\\ &77078544996996794686445490598793163688923009879312\\ &77361782154249992295763514822082698951936680331825\\ &28869398496465105820939239829488793320362509443117\\ &30123819706841614039701983767932068328237646480429\\ &53118023287825098194558153017567173613320698112509\\ &96181881593041690351598888519345807273866738589422\\ &87922849989208680582574927961048419844436346324496\\ &84875602336248270419786232090021609902353043699418\\ &49146314093431738143640546253152096183690888707016\\ &76839642437814059271456354906130310720851038375051\\ &01157477041718986106873969655212671546889570350354\end{aligned}$$